중등수학 평가 직무연수(수학공학도구 평가 활용)

2021. 7. 22 중등 수학공학도구 평가 활용 직무연수, 양양고 교사 남궁연

중 고등학교 수업에서 활용 가능한 수학공학도구는 현재 굉장히 다양합니다.

저는 알지오매스 개발 과정부터 조금 참여했기에 알지오매스를 주제로한 연수를 주로 했는데 연수를 하다보면 왜 다른 좋은 도구들이 있는데 이런 것을 굳이 다른것 도 배워야 하는지 묻는 분들이 많이 계십니다.

그래서 이번 연수의 목표는 어떤 상황에서 어떤 도구를 사용하기에 적절한 지 각각의 도구가 어떤 장점이 있는지 소개하는 것을 목표로 삼아 보았습니다.

2015 수학과 교육과정에서는 정보처리 역량과 창의 융합 역량을 강조하고 있습니다. 이런 역량과 관련된 수업과정과 평가를 구성 하는데 선생님들께 조금이나마 도움이 되길 바랍니다.

 

주제1. 중학교 도형 그래프 그리기

 

다음 세 도형을 그리며 알지오매스의 기본 도구를 익혀 봅시다.

 

가. 도형1 https://namgungyeon.tistory.com/16

나. 도형2

* 아래 도형과 같은 부분은 어떻게 색칠 하면 좋을 까요? ^^

다. 도형3

*아래 문제를 각도가 60도인 경우로 바꿔서 그리려면 어떻게 해야 할까요? 

개인적으로 위와 같은 대부분의 간단한 도형들 그리고 시험출제를 위한 그래프는 알지오매스를 사용해서 그리는 편입니다. 왜냐면 알지오매스의 단축키 , 꾸미기 기능 그리고 캡쳐기능을 사용하면 다른 공학도구에 비해 굉장히 빠르게 작업할 수 있기 때문 입니다.

그러나 계산이 복잡한 자료를 만들때 알지오매스로 구현하기에 한계가 있을 때가 있고, 그런 경우에는 지오지브라(GEOGEBRA) 를 사용합니다. 공학도구 별 장단점이 있습니다.

예 : 알지오매스로 만들다 뚜껑열려 지오지브라로 만든 미적분 문제 (https://www.geogebra.org/m/seeagxc7)

 

다만, 반대로 다른 공학도구로 구현하기는 어렵지만 알지오매스의 블록코딩 기능으로 쉽게 구현할수 있는 수업자료들도 있습니다.

예) 알지오 매스 블록코딩으로 만들어본 자료 

1. 중학교 삼각비 계산기 (http://me2.do/xuM5WGrn)

2. 타원의 반사 성질 (http://me2.do/GCk7MdnE)

3. 프랙탈 나무 (http://me2.do/FjMoN1FB)

4. 큰수의 법칙 (http://me2.do/GdbEzzkt)

5. 사이클로이드 (http://me2.do/xkBU4Cwk)

6. 이항분포와 정규분포의 관계(확률질량함수) (http://me2.do/5aI2LmFa)

7. 자유낙하운동(화천고 심화과학반 특별수업) (https://me2.do/G2UCXDGp)

8. 신뢰도와 신뢰구간 (http://me2.do/GJlXOzws)

 

주제2. 수열의 귀납적 정의를 공학도구를 사용하여 표현해보기

 

 수열의 귀납적 정의는 대부분이 학생들이 왜 배우는 지 왜 유용한지 알지 못하고 넘어가는 단원입니다.

대부분은 단순히 귀납적으로 정의된 수열의 극히 작은 항까지만 한땀한땀 가내수공업으로 구하는 것만을 다루고 넘어가기 쉽습니다.

 사람에게는 귀납적으로 정의된 수열의 굉장히 큰항을 구하는게 어려울 수 있지만 컴퓨터는 단순 반복연산은 순식간에 처리 할 수 있기때문에 상황에 따라서는 수열을 귀납적으로 정의하는 것이 더 직관적이고 효율적입니다.

 

 따라서 이 단원을 단순히 반복 연산 문제를 풀고 넘어가는 것이아니라 직접 공학도구를 사용해 귀납적응로 정의 된 수열을 만들어 보도록 한다면 더 의미있는 경험을 제공할 수 있다고 생각합니다.

 

예를 들어 피보나치 수열을 공학도구(스프레드시트 또는 블록코딩) 로 나타내봅시다.

 

1) 블록코딩 (유효숫자가 스프레드 시트에 비해 적습니다)

https://me2.do/F8K6HPAI

2) 스프레드 시트 (그래서 이번 연수에서는 스프레드 시트로 하겠습니다^^)

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1hD0Tvjwl67YBM0kmyBwwU9rZmZir7ORZOwtWiNTp8tU/edit?usp=sharing

 

위 스프레드 시트 링크를 클릭한 후에 

구글 계정에 로그인하신 후 [파일] - 사본 만들기 하셔서 작업하시거나

[파일] - 다운로드 - Microsoft Excel(.xlsx) 로 다운 로드 하시어 작업하셔도 됩니다.

위와 같이 c10 셀에 =c8+c9 라고 입력하면 c8셀에 있는 첫항과  c9셀에 있는 둘째항의 항의 합이 c10셀에 저장이 되고. 

위 영상 처럼 c10셀의 오른쪽 아래 모서리를 클릭하고 아래로 드래그하면 나머지 항들을 채울 수 있습니다. 

이와같이 같이 공학도구를 이용하면 굉장히 귀납적으로 정의된 수열의 큰 항도 금방 계산할 수 있음을 보여줄수 있습니다.

여기서 그치지 말고 피보나치 수열의 일반항을 추측해 봅시다. 

추세선의 최적화 문제를 표현하기에 가장 적절한 공학도구는 데스모스(desmos) 입니다. (알지오매스, 지오지브라, 데스모스 이런 공학도구들이 비슷한 것 같지만 효율적으로 사용할 수 있는 영역이 꽤 다릅니다.)

 

데스모스(desmos.com) 의 대수창에 스프레드시트 자료를 붙여넣으면 자동으로 위와 같이 완성 됩니다. 그래프의 개형이 기하급수적으로 늘어가는 것으로 볼때 지수함수 형태이지 않을까 추측할 수 있습니다.

데스모스는 여러 매력적인 기능이 있지만 그 중 하나는 추세선을 자동으로 최적화해 주는 것 입니다.

대수창에 아래와 같이 입력해 보면.. 물결표시(~) 가 중요합니다

 

 

a 의 값이 몇일 때 추세선의 오차가 최소가 되는지 자동으로 최적화 해서 계산해 줍니다. 꽤 정확하게 예측하지만 미세한 오차가 있습니다. 왜냐면 피보나치 수열은 y=a^x 꼴로 간단히 표현이 안되기 떄문입니다. 

실제 피보나치 수열의 일반항은 아래와 같이 두 지수함수의 조합으로 표현됩니다.

 

즉. 피보나치 수열의 일반항으로는 피보나치 수열의 그 의미가 전혀 드러나지 않습니다.

여기까지 했다면 학생들에게는 아래와 같은 평가 문제를 스스로 해결하도록 평가문항을 제시할 수 있습니다.

주제3. 미적분의 활용 - 손실함수의 최적화

수업시간에 미적분이 활용되고 있는 구체적인 예를 탐구해 보고자 인공지능 분야에서의 미적분의 활용을 주제로 올해 2차시에 거쳐 수업을 진행했습니다.

위 주제2에서 데스모스는 자동으로 추세선을 계산해 주었는데 그 과정에서 미적분이 활용됨을 알려주고자 수업을 구성해 봤습니다.

수업자료: 

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1PsN1ocoTNEgWl7tXri1CPgfuMkqitH6cY5A9XIaEnaw/edit?usp=sharing

 

위 표의 분홍색 셀을 채우면서 손실함수에 대해 설명합니다. 좋았던 점은 손실함수가 오차의 절댓값의 평균이 아니라 제곱의 평균으로 하는 이유에 대해 설명하면서 미분가능한 함수의 유용함을 자연스럽게 알려줄 수 있었기 때문입니다.

[확률과통계 수업에서 표준편차를 편차절댓값의 평균으로 정의하는 것이 아니라 괜히 번거롭게 분산(편차 제곱의 평균)을 거쳐서 계산하는 이유(미분가능성) 에 대해 설명할때는 학생들이 별로 공감을 못하는것 같아습니다. ]

 

손실함수 L(a) 를 계산할 때는 지오지브라를 합니다..

그 이유는 지오지브라의 CAS 기능으로 입력한 식을 바로 전개해 보여줄 수 있기 때문입니다.

(데스모스는 cas 기능이 없고 알지오매스는 아래와 같이 독립변수를 a로 입력하면 함수를 인식 못합니다)

 

그리고 자유과제로 국가통계포털(KOSIS) 에서 자신이 관심있는 자료를 찾아 추세선을 찾고 예측해 보기를 하게 했습니다. 이번에 제출한 학생의 자료입니다.

 

이 학생의 예측대로면 2038년 학생은 소멸합니다.... 무섭습니다.